[CFD笔记2] 偏微分方程分类

《计算流体力学基础及其应用》第三章笔记

• 这一章也比较硬核，下面我用比较简洁的语言总结一下知识点。

---

拟线性偏微分方程分类

方法1：克莱姆法则

考虑如下的拟线性偏微分方程组：

$$a_1\frac{\partial u}{\partial x}+b_1\frac{\partial u}{\partial y}+c_1\frac{\partial v}{\partial x}+d_1\frac{\partial v}{\partial y}=f_1\\a_2\frac{\partial u}{\partial x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+c_2\frac{\partial v}{\partial x}+d_2\frac{\partial v}{\partial y}=f_2\\$$

矩阵形式：

$$\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ dx & dy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dx & dy \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}\\\frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}\\\frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_1\\f_2\\du\\dv\end{pmatrix}$$

令系数矩阵

$$[A]=\begin{pmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ dx & dy & 0 & 0 \\ 0 & 0 & dx & dy \end{pmatrix}$$ $$[B]=\begin{pmatrix} f_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ f_{2} & b_{2} & c_{2} & d_{2} \\ du & dy & 0 & 0 \\ dv & 0 & dx & dy \end{pmatrix}$$

则利用克莱姆法则解得：

$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{|B|}{|A|}$$

同理可解出其他解

• 现在我们需要在$xy$平面内找到一条曲线，使得$u$和$v$的导数都是不确定的，而且跨过这条曲线时，这些导数还是不连续的，我们称这样的曲线为特征线

• 显然当$|A|=0$该导数不确定，通过数学推导可以得出以下结论：

  $$D=b^2-4ac\begin{cases} >0 \ \ 平面上每一点都有两条不同的实特征线\rightarrow双曲型方程组\\ =0\ \ 只有一条特征线\rightarrow抛物型方程组\\ <0\ \ 虚特征线\rightarrow椭圆型方程组\end{cases}\\$$

  其中

  $$\begin{aligned}a&=(a_1c_2-a_2c_1)\\b&=-(a_1d_2-a_2d_1+b_1c_2-b_2c_1)\\c&=(b_1d_2-b_2d_1)\end{aligned}$$

方法2：特征值法

将上述方程组写为如下形式：

$$W=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}a_1&c_1\\a_2&c_2\end{pmatrix}\frac{\partial W}{\partial x}+\begin{pmatrix}b_1&d_1\\b_2&d_2\end{pmatrix}\frac{\partial W}{\partial y}=0$$

或

$$[K]\frac{\partial W}{\partial x}+[M]\frac{\partial W}{\partial y}=0$$

变形得：

$$\begin{aligned}&\frac{\partial W}{\partial x}+[K]^{-1}[M]\frac{\partial W}{\partial y}=0\\&\rightarrow \frac{\partial W}{\partial x}+[N]\frac{\partial W}{\partial y}=0\end{aligned}$$

求出$[N]$的特征值$\lambda$，即可判断方程组类型：

$$\lambda均为实数：双曲型\\\lambda均为复数：椭圆型\\\lambda有实有虚：混合型$$

不同类型偏微分方程性质

术语

以下术语均针对$xy$平面上一点$P$而言：

• 左行特征曲线：站在点$P$上，面对$x$轴正向，必须向左转头才能看见的特征曲线

• 右行特征曲线：同上，向右转头才能看见的特征曲线

• 影响区域：沿$x$轴正向夹在两条特征曲线之间的区域（受点$P$扰动影响的区域）

• 依赖区域：影响点$P$的区域

双曲型

• 有两条特征曲线
• 可以利用“推进”求解（给定初始条件和边界条件，从前往后一步步求解）

举例1. 定常无粘超声速流动

• 注意：任何定常的局部亚声速流动都是椭圆型方程决定的，因此不可以“推进”求解

举例2. 非定常无粘流动

• 对时间是双曲型的，如：一维管道内波的运动、绕过振荡翼型的二维非定常流动

• 无论是亚声速还是超声速都是双曲型方程决定，因此都可以“推进”求解

• 通过对非定常流动的长时间“推进”求解，可以得到最终的定常流场的解

抛物型

• 只有一条铅垂的特征线
• 可以利用“推进”求解

举例1. 定常边界层流动

• 适用于雷诺数很大时，简化的$NS$方程——边界层方程

• 边界层方程是抛物型的

举例2. “抛物化”粘性流动

• 当雷诺数很小时，对于尖头物体，激波和流场都可能是粘性的
• 对$NS$方程做另一种简化，将包含流向导数的粘性项忽略，而且流动定常，从而导出——抛物化$NS$方程（$PNS$）
• $PNS$可以通过推进求解

举例3. 非定常热传导

导热微分方程如下：

$$\rho\frac{\partial e}{\partial t}=\rho \dot q +\frac{\partial}{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)$$

若无内热源且内能$e=c_vT$，则上述方程化简为：

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{\rho c_v}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)\right]$$

若$k$为常数，则进一步化简为：

$$\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha \nabla^2T\\热扩散系数：\alpha=\frac{k}{\rho c_v}$$

椭圆型

• 没有限制的影响区域和依赖区域，信息可以向任何方向传播到任何地方

• “陪审团”问题，无法通过“推进”求解，需要对流场中所有点同时求解

• 必须给定边界条件：

  • 在边界上指定未知函数$u$和$v$：$Dirichlet$条件
  • 在边界上指定未知函数的导数,如$\frac{\partial u}{\partial x}$：$Neumann$条件
  • 上述两种条件的混合条件

举例1. 定常亚声速无粘流动

• 如：绕翼型的亚声速流动
• 由于翼型的存在所造成的扰动将会传遍整个流场，包括上游

举例2. 不可压无粘流动

• 是马赫数趋于零时的亚声速流动的极限情况

定解问题的适定性

• 适定性：如果一个偏微分方程的解存在并且是唯一的，同时，解连续地依赖于初始条件和边界条件，那么这个问题就是适定的