麦克斯韦关系浅析

有关麦克斯韦关系的推导

• 搞热统，搞到最基础的麦克斯韦关系（Maxwell relationship），搜了一些资料，学习了一下推导过程。

麦克斯韦关系

热力学基本方程式

$$dU=TdS-pdV$$ $$dH=TdS+Vdp$$ $$dA=-SdT-pdV$$ $$dG=-SdT+Vdp$$

全微分的关系

$$df=a(x,y)dx+b(x,y)dy$$ $$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$$

• 可以发现热力学基本方程式就是每个热力学势的全微分，因此，根据 二阶混合偏导数连续 的概念，对热力学基本方程式做一系列操作，就可以得到麦克斯韦关系了，具体操作如下：
  例如：对于$dU=TdS-pdV$，对照全微分关系，再依据二阶连续偏导数相等的性质，得出： $$\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)_V$$ 同理，可以得出如下关系式： $$\left( \dfrac {\partial T}{\partial p}\right) _{S}=\left( \dfrac {\partial V}{\partial S}\right) _{p}$$ $$\left( \dfrac {\partial S}{\partial V}\right) _{T}=\left( \dfrac {\partial p}{\partial T}\right) _{V}$$ $$\left( \dfrac {\partial S}{\partial p}\right) _{T}=-\left( \dfrac {\partial V}{\partial T}\right) _{p}$$

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一些特殊恒等式

• 比定容热容： $$\left( \dfrac {\partial U}{\partial T}\right) _{V}=C _{V}$$
• 比定压热容： $$\left( \dfrac {\partial H}{\partial T}\right) _{p}=C_{p}$$

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剩下的就是一顿代换的事情了